Uno de los procesos estocásticos más fundamentales e importantes en la física es el movimiento Browniano. Un acercamiento inicial a este p|roblema se da a través de las caminatas aleatorias, que modela una partícula que recibe impactos al azar, que hacen que brinque en direcciones aleatorias.
[1] Piensa en una caminata aleatoria en una dimensión. Vive en los enteros, y en cada paso de tiempo brinca a la derecha con probabilidad $\frac{1}{2}$ y a la izquierda con probabilidad $\frac{1}{2}$.
Escribe una función que genere el tamaño del brinco: $+1$ o $-1$, cada uno con probabilidad $\frac{1}{2}$.
[2] Haz una función que calcule la trayectoria de una caminata aleatoria que empiece en $0$ y toma $n$ pasos al azar. Regresa la trayectoria.
(a) Dibuja varias trayectorias en una misma gráfica, como función del tiempo. ¿Qué observas?
(b) Dibuja muchas trayectorias en una misma gráfica. ¿Qué observas?
(c) Dibuja distintas curvas encima para intentar adivinar cómo se comporta la mancha en el tiempo.
(d) En lugar de dibujar muchas curvas, sólo dibuja los límites inferiores y superiores de la mancha. ¿Cómo cambian en el tiempo? Dibújalos de otra forma para verificar esto.
[3] Modifica tu función para que brinque a la derecha con probabilidad $p$ y a la izquierda con probabilidad $q := 1-p$. Para varios valores de $p$, dibuja varias trayectorias en una sola gráfica (una gráfica por valor de $p$). ¿Qué observas?
[Puedes crear nuevas figuras en PyPlot con figura().]
[4] Piensa en un tiempo final $n$ dado. ¿Cómo puedes caracterizar a la colección de posiciones de la colección de las posiciones de un número grande $M$ de caminantes aleatorios en este tiempo? Dibuja varias caracterizaciones como función del tiempo final $n$.
[5] Modifica tu caminante para que tenga una probabilidad $r$ de quedarse en el mismo lugar. ¿Cómo cambian los resultados?
[6] Haz lo mismo para caminantes en 2D y caminantes en 3D. [Aquí ya no dibujes las trayectorias como función del tiempo, sino dibuja las trayectorias en el espacio.]